题目

如图所示在三角形ABC中D为AC上一点CD=2AD角BAC=45角BDC=60CE垂直BD,E为垂足连接AE （
如图所示在三角形ABC中D为AC上一点CD=2AD角BAC=45角BDC=60CE垂直BD,E为垂足连接AE
（1）写出相等线段,并证明其中一条
（2）图中有无相似三角形?若有 请写一对 若没有 请说明理由

提问时间：2020-11-11

答案

第一个问题：
相等的线段有：①AD＝ED；②AE＝BE＝CE.
一、证明：AD＝ED.
　　∵CE⊥DE、∠CDE＝60°,∴ED＝CD/2,又CD＝2AD,∴AD＝ED.
二、证明：AE＝CE.
　　∵AD＝ED,∴∠EAC＝∠DEA,又∠CDE＝60°,
　　∴由三角形外角定理,有：∠EAC＋∠DEA＝∠CDE＝60°,∴∠EAC＝30°.
　　∵CE⊥DE、∠CDE＝60°,∴∠ECA＝30°.
　　由∠EAC＝30°、∠ECA＝30°,得：∠EAC＝∠ECA,∴AE＝CE.
三、证明：AE＝BE.
　　∵∠BDC＝60°、∠BAC＝45°,∴由三角形外角定理,有：∠EBA＋∠BAC＝∠BDC,
　　∴∠EBA＋45°＝60°,∴∠EBA＝15°.
　　又∠EAB＝∠BAC－∠DAE＝45°－30°＝15°.
　　由∠EBA＝15°、∠EAB＝15°,得：∠EAB＝∠EBA,∴AE＝BE.
第二个问题：
图中有一对相似三角形,即：△ADE∽△AEC.
∵∠DAE＝∠EAC、∠DEA＝∠ECA＝30°,∴△ADE∽△AEC.