题目

一道圆锥曲线数学题
设F1,F2分别是椭圆X^2/4+y^2=1的左右焦点.
（1）若P是该椭圆上一动点,求向量PF1·PF2的最大值和最小值；
（2）设过定点M（0,2）的直线l与椭圆交于不同的A,B两点,且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点）,求直线l的斜率k的取值范围.

提问时间：2020-11-11

答案

1
很明显长半轴=2,短半轴=1,焦点（±√3,0）
有PF1+PF2=2*2=4
PF1*PF2=（4-PF2）*PF2=4-（PF2-2）^2
2-√3≤PF2≤2+√3
所以
PF1*PF2min=4-3=1
PF1*PF2max=4
2
很明显呈对称形式,于是只计算k＞0的情况
当∠AOB为直角的时候
设直线为y=kx+2
A(x1,y1),B(x2,y2)
有y1/x1*y2/x2=-1
所以x1x2+y1y2=0
式1 y1y2+x1x2=(k^2+1)x1x2+2k(x1+x2)+4=0
联立方程
y=kx+2,X^2/4+y^2=1
得到x^2+2(kx+2)^2=4
所以x1+x2=____
x1x2=____
代入式1
得到k=____ (取正数)
于是k＞____ （上面所取得的数,）
又图形关于y轴对称
所以k＞____ 或 k＜-___