题目

已知

a

=（2，cosx），

b

=（sin（x+

π

6

），-2），函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）=

6

5

，求cos（2x-

π

3

）的值．

提问时间：2020-11-10

答案

（1）∵f(x)＝

a

•

b

＝2sin(x+

π

6

)−2cosx=2sinxcos

π

6

+2cosxsin

π

6

−2cosx 
=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

） …（5分）
由−

π

2

+2kπ≤x−

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，得，−

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ． …（7分）
故函数f（x）的单调增区间为[−

π

3

+2kπ ，  

2π

3

+2kπ]，k∈z．…（8分）
（2）由（1）可得f（x）=

6

5

即 sin（x-

π

6

）=

3

5

．…（10分）
∴cos（2x-

π

3

）=1-2sin2(x−

π

6

)=

7

25

．…（12分）

（1）化简函数f（x）的解析式为2sin（x-

π

6

），令−

π

2

+2kπ≤x−

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，求得x的范围，即可得到
f（x）的单调增区间．
（2）由（1）可得f（x）=

6

5

即 sin（x-

π

6

）=

3

5

，利用二倍角的余弦公式可得cos（2x-

π

3

）=1-2sin2(x−

π

6

)，运算求得结果．

本题考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值；正弦函数的单调性．

考点点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，二倍角的余弦公式，属于基础题．