题目

设数列｛an｝的前n项和为Sn=2n²｛bn｝为等比数列,且a1=b1,b2（a2-a1）=b1
（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式 ；（2）设Cn=an/bn,求数列{cn｝的前n项和为Tn

提问时间：2020-11-09

答案

（1）
a(1)=S(1)=2
a(n)=S(n)-S(n-1)=2n²-2(n-1)²=4n-2,n≥2,n∈Z
当n=1时,a(1)也满足a(1)=4×1-2=2
所以数列{a(n)}的通项公式是：a(n)=4n-2,n≥1,n∈Z
对等比数列{b(n)},b(1)=a(1)=2,公比q=b(2)/b(1)=1/[a(2)-a(1)]=1/(4×2-2-2)=1/4
所以数列{b(n)}的通项公式是：b(n)=b(1)×q^(n-1)=2^(3-2n),n≥1,n∈Z
（2）
对数列{C(n)},其通项公式是：
C(n)=a(n)/b(n)=(4n-2)/2^(3-2n)=(2n-1)·4^(n-1),n≥1,n∈Z
下面求数列{C(n)}的前n项和T(n)：
C(1)=1·4^0
C(2)=3·4^1
C(3)=5·4^2
C(4)=7·4^3
……
C(n-1)=(2n-3)·4^(n-2)
C(n)=(2n-1)·4^(n-1)
T(n)=1·4^0+3·4^1+5·4^2+7·4^3+……+(2n-1)·4^(n-1) ----------①
4T(n)=1·4^1+3·4^2+5·4^3+……+(2n-3)·4^(n-1)+(2n-1)·4^n ----------②
由②-①可得：
3T(n) = -1·4^0 -2·[4^1+4^2+4^3+……+4^(n-1)] + (2n-1)·4^n
= (2n-1)·4^n - 1 - 2·[(4^n-1)/(4-1)-1]
= [(6n-5)·4^n + 5]/3
所以：T(n)=[(6n-5)·4^n + 5]/9