题目

若复数Z满足|z|=1,求|z^2-2z-3|的最小值~
若复数Z满足|z|=1,求|z^2-2z-3|的最小值
因为|Z|=1所以不妨设Z=cosa+isina
则|Z^2-2Z-3|＝｜Z-3||Z+1|=|cosa-3+isina|*|cosa+1+isina|
=更号下{〔（cosa-3)^2+sina^2][(cosa+1)^2+sina^2]}
=更号下（-12cosa^2+8cosa+20)(只需求二次函数最小值）
＞＝0（等号当cosa=-1时取得）
这一步是怎么来的?
=更号下{〔（cosa-3)^2+sina^2][(cosa+1)^2+sina^2]}
中间是加号啊,能写成根号下.

提问时间：2020-11-09

答案

可设z=cosx+isinx.(x∈R).则|z²-2z-3|=|(z-3)(z+1)|=|z-3|×|z+1|=|(cosx-3)+isinx|×|(cosx+1)+isinx|=√{[(cosx-3)²+sin²x]×[(cosx+1)²+sin²x]}=√{[cos²x-6cosx+9+sin²x]×[cos²x+2cosx+1+sin²x]}=√[(10-6cosx)(2+2cosx)]=2√[(5-3cosx)(1+cosx)]=2√(-3cos²+2cosx+5)=2√[-3(cosx-1/3)²+(16/3)]≥0,仅当cosx=-1时取得.