题目

二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），若△ABC的面积为9，求此二次函数的最小值．

提问时间：2020-11-09

答案

设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程x²+bx+c=0的两个根，
∵y=x²+bx+c过点C（0，3），
∴c=3，
又∵S_△ABC=

1

2

|AB|•|OC|=

1

2

|AB|•3=9，
∴|AB|=6，
∴|m-n|=6，
即（m+n）²-4mn=36，
而

m+n＝−b m•n＝c＝3

，
∴b²-12=36，b=±4

3

，
∴y=x²±4

3

x+3=（x±2

3

）²-9，
∴所求的最小值为-9．

根据函数过C（0，3），那么c=3，三角形ABC的面积为9，而高就是C的纵坐标的绝对值，那么AB=6，因此A，B两点的横坐标的差的绝对值就应该是6，那么他们差的平方就是36，要想使这个式子和函数关联起来，那么可设A，B两点的横坐标为方程x²+bx+3=0的两个根，那么根据这两个根的差的平方为36，和为-6，积是3，可将两根的完全平方差公式转换成完全平方和公式，这样就能求出b的值，有了b的值，也就求出了二次函数的解析式，那么根据解析式可用公式法或配方法来求出二次函数的最小值．

本题考点：二次函数的最值．

考点点评：本题中二次函数与方程的关系，本题中利用三角形的面积和一元二次方程根与系数的关系来确定二次函数的解析式是解题的关键所在．