题目

求证：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.

提问时间：2020-11-09

答案

则由
= =
可知 ,或者 . 即 AD：AC≠AC：AB,或者 BD：BC≠BC：AB.
在ΔADC和ΔACB中,
∵ ∠A = ∠A,
∴ 若 AD：AC≠AC：AB,则
∠ADC≠∠ACB.
在ΔCDB和ΔACB中,
∵ ∠B = ∠B,
∴ 若BD：BC≠BC：AB,则
∠CDB≠∠ACB.
又∵ ∠ACB = 90º,
∴ ∠ADC≠90º,∠CDB≠90º.
这与作法CD⊥AB矛盾. 所以, 的假设不能成立.
∴ .
【证法15】（辛卜松证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD的面积为 = .
∴ ,
∴ .
【证法16】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a）,斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状,使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC,
则 AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a,
∴ DM = EM―ED = ―a = b.
又∵ ∠CMD = 90º,CM = a,
∠AED = 90º, AE = b,
∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.
∴ ∠EAD = ∠MDC,DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º,
∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º,
∴ ∠ADC = 90º.
∴ 作AB‖DC,CB‖DA,则ABCD是一个边长为c的正方形.
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º,
∴ ∠BAF=∠DAE.
连结FB,在ΔABF和ΔADE中,
∵ AB =AD = c,AE = AF = b,∠BAF=∠DAE,
∴ ΔABF ≌ ΔADE.
∴ ∠AFB = ∠AED = 90º,BF = DE = a.
∴ 点B、F、G、H在一条直线上.
在RtΔABF和RtΔBCG中,
∵ AB = BC = c,BF = CG = a,
∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.
∵ , , ,
,
∴
=
=
=
∴ .