题目

四棱锥P-ABCD是矩形,PD垂直平面ABCD,若PB=2,PB与平面PCD和平面ABD分别成45°和30°
求PB与CD所成角的大小

提问时间：2020-11-08

答案

连结BD
因为PD⊥平面ABCD,所以：∠PBD就是直线PB与平面ABCD所成角
即有：∠PBD=30°
且可知：PD⊥BC
又BC⊥CD,那么：BC⊥平面PCD
所以PB在平面PCD上的射影为PC
那么∠BPC就是PB与平面PCD所成角,即有：∠BPC=45°
由于AB//CD,所以∠PBA就是PB与CD所成角
在Rt△PBD中,PB=2,∠PBD=30°,易得：PD=1,BD=√3
在Rt△PBC中,∠BPC=45°,易得：PC=BC=√2
所以在Rt△PCD中,由勾股定理得：CD=√(PC²-PD²)=1
那么：AB=CD=1
因为PD⊥AB,AB⊥AD,所以：AB⊥平面PAD
那么：AB⊥PA
所以在Rt△PAB中,cos∠PBA=AB/PB=1/2
易解得：∠PBA=60°
即PB与CD所成角的大小为60°.