题目

证明函数周期性
1.f(x)的图象关于直线x=b与x=a都对称.（b＞a)
证明f(x)是周期函数 且T=2(b-a).
2.f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a) （a属于R+）
证明f(x)是周期函数 且T=6a

提问时间：2020-11-08

答案

1.因为f(x)的图象关于直线x=b与x=a都对称
所以f(x)=f(2a-x) f(x)=f(2b-x)
f(2a-x)=f(2b-x)
令2a-x=t 则x=2a-t
原式变为f(t)=f(2b-2a+t)=f(t+(2b-2a))
由于t的任意性f(x)是周期函数 且T=2b-2a.
2.因为f(x)=f(x-a)+f(x+a)
所以f(x+a)＝f(x)－f(x-a)
则f(x+6a)＝f(x+5a+a)=f(x+5a)-f(x+4a)=f(x+4a)- f(x+3a)-f(x+3a)+f(x+2a)=...=f(x)
f(x)是周期函数 且T=6a