题目

这回问个简单的：m,n是两个正整数.证明:m/n有限小数,等价于,n中只2或5为质因数.

提问时间：2020-11-07

答案

不妨设(m,n)=1.
一方面,如果n的因子只含有2或5,设n=2^a * 5^b.取正整数c>a,b.
则m/n=m*2^(c-a)*2^(c-b)/10^c=X/10^c,显然是有限小数.
另一方面,如果p为非2或5的素数且p|n.假设m/n可以写成有限小数,把那个有限小数写成既约分数,必然是x/2^s*5^t的形式.
于是x/2^s*5^t=m/n,即2^s*5^t*m=nx.
p|n => p|2^s*5^t*m => p|m (因p为非2或5的素数),与(m,n)=1矛盾!