题目

已知抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点.如图,设它的顶点位B.
（1）求m的值（2）过点A作x轴的平行线交于点C,求证△ABC是等腰直角三角形（3）将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C′,且与x轴的左半轴交于E点,与y轴交于F点,如图,若以B为圆心,2为半径作圆,试判断圆B与直线EF的位置关系

提问时间：2020-10-16

答案

（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点,
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0,
解得,m=2；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1,易得顶点B（1,0）,
当x=0时,y=1,得A（0,1）．
由1=x2-2x+1,解得,x=0（舍）或x=2,所以C点坐标为：（2,1）．
过C作x轴的垂线,垂足为D,则CD=1,BD=xD-xB=1．
∴在Rt△CDB中,∠CBD=45°,BC= 2 ．
同理,在Rt△AOB中,AO=OB=1,于是∠ABO=45°,AB= 2 ．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°,AB=BC,
因此△ABC是等腰直角三角形；
（3）由题知,抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3,
当x=0时,y=-3；
当y=0时,x=-1或x=3,
∴E（-1,0）,F（0,-3）,即OE=1,OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点,设此时满足条件的点为P1（x1,y1）,作P1M⊥x轴于M．
∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°,
∴∠P1EM=∠EFO,得Rt△EFO∽Rt△P1EM,
则P1M EM =OE OF =1 3 ,即EM=3P1M．
∵EM=x1+1,P1M=y1,
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1,y1）在抛物线C′上,
则有3（x12-2x1-3）=x1+1,
整理得,3x12-7x1-10=0,解得,
x1=-1（舍）或x1=10 3 ．
把x1=10 3 代入①中可解得,
y1=13 9 ．
∴P1（10 3 ,13 9 ）．
第二种情况：若以F点为直角顶点,设此时满足条件的点为P2（x2,y2）,作P2N⊥与y轴于N．
同第一种情况,易知Rt△EFO∽Rt△FP2N,
得FN P2N =OE OF =1 3 ,即P2N=3FN．
∵P2N=x2,FN=3+y2,
∴x2=3（3+y2）②
由于P2（x2,y2）在抛物线C′上,
则有x2=3（3+x22-2x2-3）,
整理得3x22-7x2=0,解得x2=0（舍）或x2=7 3 ．
把x2=7 3 代入②中可解得,
y2=-20 9 ．
∴P2（7 3 ,-20 9 ）．
综上所述,满足条件的P点的坐标为：（10 3 ,13| 9 ）或（7| 3 ,-20| 9 ）．