题目

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F
求证：BD=BF．

提问时间：2020-11-06

答案

证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠1+∠2=90°，
∵BF∥AC，
∴∠ACB=∠CBF=90°，
∵CE⊥AD，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ACD与△CBF中，
∵

∠1＝∠3 AC＝BC ∠ACB＝∠CBF

，
∴△ACD≌△CBF，
∴BF=CD，
∵D为BC边上的中点，
∴BD=CD，
∴BD=BF．

先根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠2+∠1=90°，再根据BF∥AC可知∠ACB=∠CBF=90°，由CE⊥AD可知∠2+∠3=90°，由∠2+∠1=90°可知∠1=∠3，故可得出△ACD≌△CBF，根据全等三角形的性质即可得出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

考点点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的ASA定理是解答此题的关键．