题目

关于标准正态分布概率密度还有分布函数的一个问题,
分布函数2Φ[（2*根号y）/a]-[(4*根号y)/a]*小Φ[(2*根号y）/a]
,对y求导,是怎么得到[(8*根号y)/a^3]*小Φ[(2*根号y）/a]
我想知道求导的方法,Φ和那个小Φ（就是概率密度的那个符号）在求导的过程中怎么变的,

提问时间：2020-11-06

答案

对于标准正态分布有Φ(2y½ /a)=∫(-∞到2y½ /a)φ(y)dy,其中φ(y)=1 /(2π)½×exp(-y² /2),且对y求导可得dΦ(2y½ /a)/dy=2/(ay½)φ(2y½ /a).
代入式子得
d(2Φ(2y½ /a)-(4y½ /a)×φ(2y½ /a)) /dy
=2/(ay½)φ(2y½ /a)-2/(ay½)φ(2y½ /a)-(4y½ /a)×dφ(2y½ /a) /dy
= - (4y½ /a)×d[1 /(2π)½×exp(-(2y½ /a)² /2)]/dy
=- (4y½ /a)×(-2/a²)×φ(2y½ /a)
=8y½ /a³×φ(2y½ /a)