题目

过抛物线Y^2=4X的焦点的直线交抛 物线于A,B两点,正三角形ABC的 顶点C在该抛物线的准线上求ABC的 边长

提问时间：2020-11-06

答案

设AB方程为x=ny+1 (n为斜率的倒数)
y^2=4(ny+1)
y^2-4ny-4=0
y1+y2=4n,y1y2=-4
(y1+y2)/2=2n
AB中点M坐标为(2n^2+1,2n)
M到准线的距离为2n^2+2
MC的斜率为-n
MC=(2n^2+2)*根号(1+n^2)
AB=|y1-y2|*根号(1+n^2)
=根号[(y1+y2)^2-4y1y2]*根号(n^2+1)
=根号(16n^2+16)根号(n^2+1)
=4(n^2+1)
ABC是等边三角形,故AB*(根3)/2=MC
4(n^2+1)*(根3)/2=(2n^2+2)*根号(1+n^2)
根3=根号(n^2+1)
n^2=2
AB=4(n^2+1)=12