题目

△ABC的两个顶点A,B为椭圆x^2+5y^2=5的左右焦点,且三内角ABC满足sin(B-A)/2=1/2cosC/2 求顶点C的轨迹方程
别复制百度那个答案 结果不准 主要是三角函数那里怎么化简

提问时间：2020-11-04

答案

x^2+5y^2=5,则x^2/5+y^2=1,
A(-2,0),B(2,0).
sin[(B-A)/2]=1/2cosC/2
sin[(B-A)/2]=1/2cos[(π-(A+B))/2]
sin[(B-A)/2]=1/2sin[(A+B)/2]
等式两边同乘以2cos[(A+B)/2]得
2sin[(B-A)/2]cos[(A+B)/2]=sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]
对等式左边利用积化和差公式：2sin[(α+β)/2]•cos[(α-β)/2] =sinα+sinβ
右边利用sinαcosα=1/2sin2α可得
sinB-sinA=1/2sin(A+B)
即sinB-sinA=1/2sinC,
根据正弦定理知b-a=1/2c,
即CA-CB=1/2*AB
因为AB=4,所以CA-CB=2,
所以点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,
轨迹方程是x^2-y^2/3=1(x>0).