题目

一人欲横渡河500米宽的河,他相对于水的划行速度为3000米/小时,河水以2000米/小时的速度流动,此人在岸上的步行速率为5000米/小时,问:此人应取甚么路径可使从出发地点到达正对岸处所用的时间最短,最短的时间为多少?
书上答案是:划行方向与岸夹角为θ,θ=64.6度,t=0.21小时.

提问时间：2020-11-03

答案

设人划行的速度与岸夹角为θ、在水中的时间为ta、在岸上行走的时间为tb.Va=3Km/h、Vb=5Km/h、V=2Km/h、d=0.5Km
在垂直河岸方向：ta=d/(Va*sinθ)--------水中
在平行河岸方向：ta=d'/(Va*cosθ-V)-------水中
在岸上：tb=d'/Vb
由上面三个式子消去d'得：
t=ta+tb
=ta+{(Va*cosθ-V)*ta/Vb}
={(Vb+Va*cosθ-V)/Vb}*ta
={(Vb+Va*cosθ-V)/Vb}*{d/(Va*sinθ)}
={(5+3*cosθ-2)/5}*{0.5/(3*sinθ)}
=(1+cosθ)/(10sinθ)
显然,当θ=90°时,sin90°=1最大,cos90°=0最小,时间t取最小值.
t(min)=(1/10)h=6min
(人划行的方向垂直岸时,所用时间是最短的,最短时间为6分钟)