题目

有矩阵A、B,为什么 (A+B)(A-B)=A平方-B平方的充要条件是AB=BA

提问时间：2020-11-03

答案

首先(A+B)(A-B)=(A+B)A-(A+B)B=A²+BA-AB-B²
证明AB=BA => (A+B)(A-B)=A²-B²
∵ AB=BA,∴BA-AB=0（零矩阵）
于是 A²+BA-AB-B²=A²-B²
即(A+B)(A-B)=A²-B²
证明(A+B)(A-B)=A²-B² => AB=BA
由∵(A+B)(A-B)=A²+BA-AB-B²=A²-B²
∴ BA-AB=0 于是 BA=AB
综上述(A+B)(A-B)=A²-B²的充要条件是AB=BA