题目

二次函数与一元二次方程
直线y=kx+b经过点P(m,2m),该直线又分别与x轴,y轴的正半轴于B,C两点,且S直角三角形OBC=4m(^2),抛物线y=ax(^2)+bx+c经过B,C两点,与y轴的负半轴交于A 点.1)求B,C两点坐标用m的代数式表示; 2)若垂直ABC中,角ACB=90度S直角三角形ABC=5.求这个抛物线的解析式.

提问时间：2020-11-03

答案

∵直线y=kx+b经过点P(m,2m)
∴2m=km+b,b=2m-km
此直线的解析式为y=kx+2m-km
又∵该直线又分别与x轴,y轴的正半轴于B,C两点
∴该直线一定经过一、二、四象限,而二、四象限x、y异号,直线经过点P(m,2m),而m和2m一定同号,
∴(m,2m)一定在第一象限,即m＞0.
∵该直线与x轴正半轴交于B点,
∴B点的纵坐标为0,带入解析式,得
x=(km-2m)/k 即B点的横坐标为(km-2m)/k
同理C点的横坐标为0,带入解析式,得
y=2m-km 即C点的纵坐标为2m-km
而S直角三角形OBC=4m²
∴[(km-2m)/k]（2m-km）=2×4m²
得（km+2m）²=0
即k=-2
∴B(2m,0)
C(0,4m)
∵直角三角形AOC∽直角三角形COB
∴OB∶OC=OC∶0A,而OB=2m,OC=4m
∴OA=8m
∴A的坐标为（-8m,0）
而S直角三角形ABC=5.
∴（8m+2m）×4m÷2=5
m=1/2,(m=-1/2舍去)
∴A（-4,0）,B(1,0),C(0,2)
设此二次函数解析式为y=a(x-1)(x+4)
把C(0,2)带入,得
a=-1/2
∴此二次函数解析式为y=-1/2(x-1)(x+4)
即y=-1/2x²-3/2x+2