题目
如图,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,点C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD、DB.
(1)当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数;
(2)若AC=2
,求证:△ACD∽△OCB.
(1)当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数;
(2)若AC=2
3 |
提问时间:2020-11-03
答案
(1)连接OA,
∵OA=OB=OD,
∴∠OAB=∠OBC=30°,∠OAD=∠ADC=18°,
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°,
由圆周角定理得:∠DOB=2∠DAB=96°.
(2)证明:过O作OE⊥AB于点E,垂足为E,
∵OE过O,
由垂径定理得:AE=BE,
∵在Rt△OEB中,OB=4,∠OBC=30°,
∴OE=
OB=2,
由勾股定理得:BE=2
=AE,
即AB=2AE=4
,
∵AC=2
,
∴BC=2
,
即C、E两点重合,
∴DC⊥AB,
∴∠DCA=∠OCB=90°,
∵DC=OD+OC=2+4=6,OC=2,AC=BC=2
,
∴
=
=
,
∴△ACD∽△OCB(两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似).
∵OA=OB=OD,
∴∠OAB=∠OBC=30°,∠OAD=∠ADC=18°,
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°,
由圆周角定理得:∠DOB=2∠DAB=96°.
(2)证明:过O作OE⊥AB于点E,垂足为E,
∵OE过O,
由垂径定理得:AE=BE,
∵在Rt△OEB中,OB=4,∠OBC=30°,
∴OE=
1 |
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由勾股定理得:BE=2
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即AB=2AE=4
3 |
∵AC=2
3 |
∴BC=2
3 |
即C、E两点重合,
∴DC⊥AB,
∴∠DCA=∠OCB=90°,
∵DC=OD+OC=2+4=6,OC=2,AC=BC=2
3 |
∴
AC |
OC |
CD |
BC |
3 |
∴△ACD∽△OCB(两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似).
(1)连接OA,根据OA=OB=OD,求出∠DAO、∠OAB的度数,求出∠DAB,根据圆周角定理求出即可;
(2)过O作OE⊥AB于E,根据垂径定理求出AE和BE,求出AB,推出C、E重合,得出∠ACD=∠OCB=90°,求出DC长得出
=
,根据相似三角形的判定推出即可.
(2)过O作OE⊥AB于E,根据垂径定理求出AE和BE,求出AB,推出C、E重合,得出∠ACD=∠OCB=90°,求出DC长得出
AC |
OC |
DC |
BC |
圆周角定理;等腰三角形的性质;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定.
本题综合考查了垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定,勾股定理,等腰三角形的性质的应用,主要考查学生能否运用性质进行推理,题目综合性比较强,是一道比较好的题目.
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