题目

设函数f(x)=lnx+x^2-2ax+a^2,a∈R
设函数f(x)=lnx+x^2-2ax+a^2,a∈R（1）若函数在【1/2,2】上单调递增,求实数a取值范围 (2)求函数f(x)极值点

提问时间：2020-11-03

答案

(1)
定义域x > 0
f'(x) = 1/x + 2x - 2a = (2x² - 2ax + 1)/x = 0
2x² - 2ax + 1 = 0
判别式∆ = 4a² - 8
(i) ∆ ≤ 0,a² ≤ 2
2x² - 2ax + 1为开口向上的抛物线,与x轴最多有一个公共点,在定义域内f'(x) ≥ 0,f(x)在[1/2,2]上单调递增
(ii) ∆ > 0,a² > 2
2x² - 2ax + 1为开口向上的抛物线,与x轴有2个公共点
x₁ = [a - √(a² - 2)]/2,x₂ = [a + √(a² - 2)]/2
若f(x)函数在[1/2,2]上单调递增,只须x₁ = [a - √(a² - 2)]/2 > 1或 x₂ = [a + √(a² - 2)]/2
x₁ = [a - √(a² - 2)]/2 > 1,a - √(a² - 2) > 2
a - 2 > √(a² - 2) ( 须a - 2 > 0才有意义)
a² - 4a + 4 > a² - 2
a < 3/2
与a - 2 > 0矛盾,舍去
x₂ = [a + √(a² - 2)]/2 < 1/2
a + √(a² - 2) < 1
√(a² - 2) < 1 - a ( 须1 - a > 0才有意义)
a² - 2 < a² - 2a + 1
2a < 3,a < 3/2
结合前提1 - a > 0得a < 1
再结合大前提a² > 2,得a < -√2
结合(i)(ii):a ≤ √2
(2)
(i) a² ≤ 2时无极值点
(ii) a² > 2
x₁ = [a - √(a² - 2)]/2,x₂ = [a + √(a² - 2)]/2
f(x₁)为极大值,f(x₂)为极小值
f(x₁) = ln[a - √(a² - 2)] - ln2 + [a + √(a² - 2)]²/4 = lnx₁ + x₂²
f(x₂) = ln[a + √(a² - 2)] - ln2 + [a - √(a² - 2)]²/4 = lnx₂ + x₁²