题目

已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球的表面积和体积．

提问时间：2020-11-03

答案

如图，设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，
则OO′⊥面ABC．在Rt△ACD中，cosA=

2

6

=

1

3

，则sinA=

2 2

3

，
在△ABC中，由正弦定理得

6

sinA

=2R，R=

9 2

4

，即O′C=

9 2

4

．
在Rt△OCO′中，由题意得r²-

1

4

r²=

81×2

16

，得r=

3 6

2

．
球的表面积S=4πr²=4π×

9×6

4

=54π．
球的体积为

4

3

π(

3 6

2

)3=27

6

π．

设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．

本题考点：球的体积和表面积

考点点评：本题考查球面距离弦长问题球的表面积、体积的求法以及正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力．