题目

（1）从1到3999这3999个自然数中有多少个数的数字之和能被4整除?
（2）在小于5000的自然数中,能被11整除,并且数字之和为13的数,共有多少个?
（3）一些小朋友排成一行,从左边第一个人开始每隔2人发一个苹果；从右边开始,每隔4人发一个橘子,结果有10个小朋友苹果和橘子都拿到了,那么这些小朋友最多有多少人?
麻烦写下过程.

提问时间：2020-11-03

答案

（1）1-3998这3998个连续自然数中,各位数字之和能被4整除的数共有多少个?
考虑从0到3999的整数,如果把它们都作为4位数看待,则最高位从0到3,其余的各位从0到9.现在不管最高位为几,后面三位的排列一共有10*10*10为1000个数,这1000个数中每一个数的数字和被4除只可能余0、1、2或3.但无论哪一种余数,最高位恰好只有一个数字与之相加后能被4整除,就是说,只要后三位确定了,最高位有且仅有一个数字才能使整个数的数字和能被4整除.因此,从0到3999这4000个数中,有1000个数的数字和是能被4整除的.但原题并不包括0及3999,因此排除0,故答案为999.
同理,如果把题目改成从1到4998,数字和为5的倍数,一样的结果为999.注意4998这个数的数字和为30,也是符合要求的数.
这题目可以这样分析：将1~999中的自然数按各位数字和被4整除的余数分类,（1000,2000,3000）不符合条件不考虑）
第一类：1、5、9、10.997（除以4余1）
第二类：2、6、11、15.998（除以4余2）
第三类：3、7、12、16.999（除以4余3）
第四类：4、8、13、17.996（除以4余0）
B
A
上面四类中,只有第四类能被4整除.如果在第一类是千位上加3,第二类的千位上加2,第三类的千位上加1,这时的第一类、第二类、第三类各位上的数字和都能被4整除,可以看出,从1~3998这3998个自然数中,只有这些数满足条件,所以从1到3998中有999个数的各位数字之和能被4整除.
（2）在小于5000的自然数中,能被11整除,并且数字之和为13的数,共有多少个?
四位数ABCD要被11整除,(A+C)-(B+D)|11
A+C=12,B+D=1 4081,4180,3091,3190,
三位数ABC 要被11整除,A+C=12,B =1 319,418,517,616.
A