题目

若a＞0，a≠1，F（x）是偶函数，则G（x）=F（x）•log_a(x+

x2+1

)的图象是（　　）
A. 关于x轴对称
B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线y=x对称

提问时间：2020-11-03

答案

令H（x）=log_a(x+

x2+1

)，则有H（-x）=loga (−x+

(−x)2+1

)＝loga 

1

x+ 1+x2

＝− H(x)
∵F（x）是偶函数，∴F（-x）=F（x）
∴G（-x）=F（-x）•H（-x）=-F（x）•H（x）=-G（x）
所以函数G（x）为奇函数，由奇函数的性质可得图象关于原点对称
故选C

构造函数令H（x）=loga(x+x2+1)，利用奇偶性的定义验证G（-x）与G（x）的关系，从而判断函数G（x）的奇偶性，进而判断函数图象的对称性

本题考点：奇偶函数图象的对称性；偶函数．

考点点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判断，对数的基本运算，及奇偶函数的图象的对称性的应用，属于基础试题．