题目
A,B为正定矩阵,证：AB的特征值全部大于零.
提问时间：2020-11-02
答案
首先说一下,PT这里表示P矩阵的转置,P-1表示P矩阵的逆矩阵
这里利用 “ 实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件为：存在可逆矩阵P,使得
A=PTP ” 来证明
已知A,B均正定,则存在可逆矩阵P,Q使得
A = PTP
B = QTQ
Q(AB)Q-1 = Q(PTP)(QTQ)Q-1=QPTPQT = (PQT)T(PQT)
P,Q均可逆,所以PQT也为可逆矩阵,
再次利用开始的充要条件,Q(AB)Q-1为正定矩阵,所有特征值大于零
又因为Q为可逆矩阵 所以 AB 与矩阵 Q(AB)Q-1 相似,所以AB特征值全大于零
OK,证明完毕,
这里利用 “ 实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件为：存在可逆矩阵P,使得
A=PTP ” 来证明
已知A,B均正定,则存在可逆矩阵P,Q使得
A = PTP
B = QTQ
Q(AB)Q-1 = Q(PTP)(QTQ)Q-1=QPTPQT = (PQT)T(PQT)
P,Q均可逆,所以PQT也为可逆矩阵,
再次利用开始的充要条件,Q(AB)Q-1为正定矩阵,所有特征值大于零
又因为Q为可逆矩阵 所以 AB 与矩阵 Q(AB)Q-1 相似,所以AB特征值全大于零
OK,证明完毕,
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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