题目

平行四边形ABCD中，AB=2BC，E为DC的中点，AE与BC延长相交于点F．求证：∠F=∠FAB．

提问时间：2020-11-02

答案

证明：方法1：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AD∥CB；∴AB=CD，AD=CB．
又E是DC的中点，
∴DE=

1

2

DC=

1

2

AB，AD=BC=

1

2

AB，
∴DE=AD．
∴∠DAE=∠DEA．
由于AD∥BC，
∴∠DAE=∠F、
由于AB∥CD，
∴∠FAB=∠DEA．
因此，∠F=∠FAB．
方法2：
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴∠DAF=∠F，
在△AED和△FEC中

∠DAF＝∠F ∠AED＝∠CEF DE＝EC

，
∴△AED≌△FEC．
∴AD=CF．
∴BC=CF即BF=2BC．又AB=2BC．
∴AB=BF．
因此，∠F=∠FAB．

方法1、要证∠DAF=∠F，根据平行四边形的性质，和平行线的性质，可证∠DAE=∠DEA，∠DAE=∠F，∠FAB=∠DEA；由等量代换，即证∠F=∠FAB；
方法2．、要证∠DAF=∠F，可证△ABF是等腰三角形，根据平行四边形的性质，和平行线的性质，可证△AED≌△FEC，得AD=CF，BC=CF即BF=2BC．又AB=2BC．
得AB=BF，所以∠DAF=∠F．

本题考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查平行四边形的性质的运用，解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的证明．