题目

正四棱柱ABCD-A1B2C3D4中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC ⑴证明A1C⊥平面BED,⑵求二面角A1-DE-B的大小

提问时间：2020-11-02

答案

证明：连AC,BD交于点M,ME为平面ACC1A1与平面BDE的交线,设A1C过平面DEB交于点F则F必在交线ME上
（平面ACD与直线BD）
∵AC⊥BD,AA1⊥平面ABCD=>AA1⊥BD
AA1∩AC=A
∴BD⊥平面AA1C ∴BD⊥A1C
（平面ACC1A1内,RT△MCE与RT△AA1C）
CE：AC=1：2√2=CM：AA1=√2:4
所以△MCE∽△AA1C=>∠CME=∠AA1C ∠MEC=∠CME
所以∠CFM=∠CAA1=90°即A1C⊥ME
BD∩ME=M所以A1C⊥平面BDE
（2）
A1C⊥平面BDE 得A1C⊥DE
过F作DE垂线交DE与P则FP⊥DE A1F⊥DE A1F∩FP=F得DE垂直平面A1FP
所以DE⊥A1P
那么∠FPA1即为所求二面角
（求A1F长度）
在平面ACC1A1内
△ CFE∽△CC1A1 A1C=√（（2√2）²+4²）=2√6
设CF长为x
则x：4=1：2√6 解得x=√6/3
所以A1F=A1C-CF=2√6-√6/3=5√6/3
（求PF长度）
△ BDE为等腰三角形 M为中点所以∠EMD=∠FPE=90°
∠FEP=∠PEF 所以△PEF∽△DME
PF：DM=FE：DE DE=√（1+2² ）=√5
FE在△CEF中长为√（1²-（√6/3）²）=√3/3
DM=√2 解得PF=√30/15
(求A1P长度)
A1P为△A1DE的高
DE=√5 DA1=√（2²+4²）=2√5 A1E=√（C1E²+A1C²）=√（（2√2）²+3²）=√17
由余弦定理
Cos∠EDA1=（（√5 ）²+（2√5）²- （√17）²）/（2×√5×2√5）=2/5
所以sin∠EDA1=√（1-（2/5）²）=√21/5
S△A1DE=1/2×A1D×DE×sin∠EDA1=1/2×DE×A1P
解得A1P=2√105/5
（求角FPA1）
△A1PF中 cos∠FPA1=（（√30/15）²+（2√105/5）²-（5√6/3）²）/（2×√30/15×2√105/5）=√14/42
所以所求二面角为arccos√14/42