题目

已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9
已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9
猜想An的通向公式 并用数学归纳法证明

提问时间：2020-11-02

答案

∵数列{a[n]}满足4a[n+1]-a[n]a[n+1]+2a[n]=9
∴(4-a[n])a[n+1]=9-2a[n]
即：a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)
∵a[1]=1
∴a[2]=7/3,a[3]=13/5,a[4]=19/7,...
∵分子是首项为1,公差为6的等差数列
∴猜想分子是：1+6(n-1)=6n-5
∵分母是首项为1,公差为2的等差数列
∴猜想分母是：1+2(n-1)=2n-1
∴猜想{a[n]}的通项公式是：a[n]=(6n-5)/(2n-1)
下面用数学归纳法来证明上述猜想公式成立：
当n=1时,左边=a[1]=1,右边=(6*1-5)/(2*1-1)=1,此时公式成立
设n=k时公式成立,即：a[k]=(6k-5)/(2k-1)
∵a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)
∴当n=k+1时,a[k+1]=(2a[k]-9)/(a[k]-4)
=[2(6k-5)/(2k-1)-9]/[(6k-5)/(2k-1)-4]
=[(-6k-1)/(2k-1)]/[(-2k-1)/(2k-1)]
=(6k+1)/(2k+1)
=[6(k+1)-5]/[2(k+1)-1],公式也成立
∴{a[n]}的通项公式：a[n]=(6n-5)/(2n-1)的猜想是正确的
再用不动点法给予验证：
∵a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)
令：x=(2x-9)/(x-4)
x^2-4x=2x-9
即：(x-3)^2=0
解得不动点：x=3
∴a[n+1]-3=(2a[n]-9/(a[n]-4)-3=(-a[n]+3)/(a[n]-4)
取倒数：1/(a[n+1]-3)=(4-a[n])/(a[n]-3)=1/(a[n]-3)-1
即：1/(a[n+1]-3)-1/(a[n]-3)=-1
∵a[1]=1
∴{1/(a[n]-3)}是首项为1/(a[1]-3)=-1/2,公差为-1的等差数列
即：1/(a[n]-3)=-1/2-(n-1)=(1-2n)/2
∴a[n]=2/(1-2n)+3=(5-6n)/(1-2n)=(6n-5)/(2n-1)
验证结果：猜想、数学归纳法、不动点法所得的{a[n]}通项公式完全一致
a[n]=(6n-5)/(2n-1)