题目
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点E在BC的延长线上,DE=DB.
求证:AD=CE.
求证:AD=CE.
提问时间:2020-11-02
答案
证法一:在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=AC,
∴∠ABC=∠DCB(等腰梯形同一底上的内角相等),
∠A+∠ABC=180°,
又∵∠DCE+∠DCB=180°,
∴∠A=∠DCE,
∵DB=BE,
∴∠DBC=∠E,
∵∠ADB=∠DBC,
∴∠ADB=∠E,
在△ABD和△CDE中,
,
∴△ABD≌△CDE(AAS),
∴AD=CE;
证法二:连接AC,
在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=AC,
∴AC=BD(等腰梯形的对角线相等),
∠ABC=∠DCB(等腰梯形同一底上的内角相等),
在△ABC和△DCB中,
,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴∠ACB=∠DBC,
∵DB=BE,
∴∠DBC=∠E,
∴∠ACB=∠E,
∴AC∥DE,
又∵DE=BD,
∴DE=AC,
∴四边形ACED是平行四边形(一组对边平行的四边形是平行四边形),
∴AD=CE.(平行四边形的对边相等).
∴∠ABC=∠DCB(等腰梯形同一底上的内角相等),
∠A+∠ABC=180°,
又∵∠DCE+∠DCB=180°,
∴∠A=∠DCE,
∵DB=BE,
∴∠DBC=∠E,
∵∠ADB=∠DBC,
∴∠ADB=∠E,
在△ABD和△CDE中,
|
∴△ABD≌△CDE(AAS),
∴AD=CE;
证法二:连接AC,
在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=AC,
∴AC=BD(等腰梯形的对角线相等),
∠ABC=∠DCB(等腰梯形同一底上的内角相等),
在△ABC和△DCB中,
|
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴∠ACB=∠DBC,
∵DB=BE,
∴∠DBC=∠E,
∴∠ACB=∠E,
∴AC∥DE,
又∵DE=BD,
∴DE=AC,
∴四边形ACED是平行四边形(一组对边平行的四边形是平行四边形),
∴AD=CE.(平行四边形的对边相等).
证法一:根据等腰梯形同一底上的内角相等可得∠ABC=∠DCB,再根据两直线平行,同旁内角互补求出∠A+∠ABC=180°,然后根据等角的补角相等求出∠A=∠DCE,再根据等边对等角求出∠DBC=∠E,然后利用两直线平行,内错角相等得到∠ADB=∠DBC,从而推出∠ADB=∠E,再利用“角角边”证明△ABD和△CDE全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;
证法二:根据等腰梯形同一底上的内角相等可得∠ABC=∠DCB,然后利用“边角边”证明△ABC和△DCB全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠DBC,再根据等边对等角求出∠DBC=∠E,然后求出∠ACB=∠E,根据同位角相等,两直线平行求出AC∥DE,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形ACED是平行四边形,根据平行四边形的对边相等证明即可.
证法二:根据等腰梯形同一底上的内角相等可得∠ABC=∠DCB,然后利用“边角边”证明△ABC和△DCB全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠DBC,再根据等边对等角求出∠DBC=∠E,然后求出∠ACB=∠E,根据同位角相等,两直线平行求出AC∥DE,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形ACED是平行四边形,根据平行四边形的对边相等证明即可.
等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查了等腰梯形的性质,全等三角形的判定与性质,等边对等角的性质,综合题,但难度不大,找出三角形全等的条件是解题的关键.
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