题目

若抛物线y=ax∧2+bx+3与y=-x∧2+3x+2的两个交点关于原点对称,求a、b

提问时间：2020-11-02

答案

设两抛物线两个交点的坐标分别问A(x1,y1),B(x2,y2)
根据“抛物线两个交点关于原点对称”这个已知条件,可得出：
x1+x2=0 ①
y1+y2=0 ② （这是关于原点对称的点的性质）
联立两个抛物线的方程,消去y,得到关于x的含有a,b的一元二次方程：
(a+1)x^ +(b-3)x +1=0
显然,此方程的两个根一定分别对应两个抛物线交点的横坐标,由韦达定理得：
x1+x2=(3-b)/(a+1) ③
x1*x2=1/(a+1) ④
将③代入①,可求出：
b=3,a≠-1
将A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入其中一个抛物线的解析式y=-x^+3x+2,可得：
y1=-x1^+3x1+2
y2=-x2^+3x2+2
两式相加可得：
y1+y2=-(x1^+x2^)+3(x1+x2)+4
将①,②式分别代入此方程左右两侧,可得：
x1^+x2^=4
(x1+x2)^-2x1*x2=4
x1*x2=-2
将④式代入：
1/(a+1)=-2
a=-3/2
综上,a=-3/2,b=3
还可以用另一种方法解,楼主要是感兴趣可以看看：
因为两抛物线交点关于原点对称,可设两交点为(m,n),(-m,-n),分别将它们代入抛物线y=-x^+3x+2的解析式中：
n = -m²+3m+2
-n = -(-m)²+3(-m)+2
解出：m=√2,n=3√2
或m=-√2,n=-3√2
于是两交点坐标为(√2,3√2),(-√2,-3√2)
将它们分别代入另一抛物线y=ax²+bx+3的解析式：
3√2 = 2a + b√2 +3
-3√2 = 2a - b√2 +3
最后解得a=-3/2,b=3