题目

在三角形ABC中,角ACB=90度,角BAC=30度,三角形ABE和三角形ACD都是等边三角形,F是BE的中点,DF交AC于M,
试说明线段AM与MC相等的理由
因为三角形ABE是等边三角形
所以角BAE=60
又因为F是BE中点
所以AF垂直BE，AF平分角BAE
所以角BAF=角EAF=1/2角BAE=30
又因为角BAC=30
所以角BAF=角BAC
又因为角ACB=90
所以角AFB=角ACB=90
在三角形ABF与三角形ABC中
AB=AB,角BAF=角BAC,角AFB=角ACB
所以三角形ABF全等于三角形ABC
所以AF=AC
因为三角形ACD是等边三角形
所以角CAD=角ADC=90
所以AC=AD
所以AF=AD
因为角BAF=30，角BAC=30，角CAD=60
所以角DAF=120
又因为AF=AD
所以角ADF=角AFD=30
所以角CDF=30
所以角ADF=角CDF
所以DF平分角ADC
又因为三角形ACD为等边三角形
所以AM=MC

提问时间：2020-11-02

答案

方法1“
证明：因为 △ABE为等边△
所以 角BAE=60度
因为 角CAB=30度
所以 角CAE-90度
因为 角ACB=90度
所以 四边形CABE 为直角梯形
找到AC的中点M并链接FM
因为 F点是BE的中点
所以 FM平行AE且垂直AC （梯形两腰中点连线平行于底边）
链接DM 因为△ACD为等边△
所以 DM垂直于AC
因为 FM垂直于AC
所以 FMD三点在同一条直线上
链接BE的中点F 和D 交AC 于点M
综上所述 该点M为AC的中点
所以 CM=AM
方法2
链接点F 和点A
因为 △ABE是等边△ 且F为BE的中点
所以 AF为角BAE的角平分线 且AF垂直于BE
所以 角BAF=30度
因为 △ ABC为直角三角形 且角CAB=30度
所以 AB=2CB
所以 BC=BF
所以 △ACB全等于△ABF
所以 AF+AC
应为 △ACD是等边三角形
所以 AD+AF
所以 △DAF为等腰△
因为 角BAF=角CAB=30度 角DAC=60度
所以 角DAF=120度
所以 角FDA=30度
因为 角CDA=60度
所以 DM为角ADC的角平分线
因为 △ADC为等边△
所以 DM是△ADC的中线
所以 点M 是AC的中点
所以 CM=AM
这题应该 还有其他的加法· 的论据出错了