题目

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．

（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；
（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．

提问时间：2020-11-02

答案

（1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°    
∴AD=BD=DC    （2分）
∵AE=CF∴△AED≌△CFD（SAS）    
（2）依题意有：FC=AE=x，
∵△AED≌△CFD
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=9     
∴S△EDF＝S四边形AEDF−S△AEF＝9−

1

2

(6−x)x＝

1

2

x2−3x+9
∴y＝

1

2

x2−3x+9；
（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°    
∴△ADF≌△BDE    
∴S_△ADF=S_△BDE
∴S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB
=

1

2

(x−6)x+9＝

1

2

x2−3x+9
∴y＝

1

2

x2−3x+9．