题目

已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，试求a，b的值，并求出f（x）的极大值．

提问时间：2020-11-02

答案

由已知，可得f（1）=1-3a+2b=-1①，
又f'（x）=3x²-6ax+2b，
∴f'（1）=3-6a+2b=0，②
由①，②，解得a＝

1

3

，b＝−

1

2

．
故函数的解析式为f（x）=x³-x²-x．
由此得f'（x）=3x²-2x-1，根据二次函数的性质，当x＜−

1

3

或x＞1时，f'（x）＞0；
当−

1

3

＜x＜1，f'（x）＜0．
∴函数f（x） 在(−∞，−

1

3

)和(1，+∞)上单调递增，在(−

1

3

，1)单调递减
∴当x＝−

1

3

时，f（x）取得极大值，f(x)极大值＝

5

27

根据函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值．

本题考点：利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题主要考查函数的导数与极值之间的关系，属于导数的应用，比较基础．