题目

如何证明两个奇数的平方和一定不是平方数

提问时间：2020-11-02

答案

用反证法来证
设a、b是奇数,假设a^2+b^2=c^2 (c是整数）
由于a、b是奇数,所以可设a=2m+1 （ m是整数） b=2n+1(n是整数）代入a^2+b^2=c^2 得
4m^2+4m+1+4n^2+4n+1=c^2
4(m^2+m+n^2+n)+2=c^2 (1)
从上式可知 c^2能被2整除,由于2是质数,所以c也能被2整除,（注意：这是整数整除理论中一个定理）于是可设c=2k(k是整数）
代入(1)得4(m^2+m+n^2+n)+2=4k^2 两边同除以4得
(m^2+m+n^2+n)+1/2=k^2 (2)
由于m、n、k都是整数,1/2是分数,所以(2)式显然不成立.所以矛盾.于是命题得证.