题目
欲修建一横断面为等腰梯形(如图)的水渠,为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面,若水渠横断面面积设计为定值S,渠深h,则水渠壁的倾角α(0°<α<90°)应为多大时,方能使修建成本最低?
提问时间:2021-04-22
答案
作BE⊥DC于E,
在Rt△BEC中,BC=
,CE=hcotα,
又AB-CD=2CE=2hcotα,AB+CD=
,
故CD=
-hcotα.
设y=AD+DC+BC,
则y=
-hcotα+
=
+
(0°<α<90°),
由于S与h是常量,欲使y最小,只需u=
取最小值,
u可看作(0,2)与(-sinα,cosα)两点连线的斜率,
由于α∈(0°,90°),
点(-sinα,cosα)在曲线x2+y2=1(-1<x<0,0<y<1)上运动,
当过(0,2)的直线与曲线相切时,直线斜率最小,
此时切点为(-
在Rt△BEC中,BC=
h |
sinα |
又AB-CD=2CE=2hcotα,AB+CD=
2S |
h |
故CD=
S |
h |
设y=AD+DC+BC,
则y=
S |
h |
2h |
sinα |
S |
h |
h(2−cosα) |
sinα |
由于S与h是常量,欲使y最小,只需u=
2−cosα |
sinα |
u可看作(0,2)与(-sinα,cosα)两点连线的斜率,
由于α∈(0°,90°),
点(-sinα,cosα)在曲线x2+y2=1(-1<x<0,0<y<1)上运动,
当过(0,2)的直线与曲线相切时,直线斜率最小,
此时切点为(-