题目

求极限lim[x→0] [根号(1+ x )+根号(1-x )-2]/x^2

提问时间：2020-11-02

答案

方法一：L'Hospital法则
lim(x→0) [√(1+x)+√(1-x)-2]/x²
=lim(x→0) [(1/2)(1+x)^(-1/2)-(1/2)(1-x)^(-1/2)]/(2x)
=lim(x→0) [(-1/4)(1+x)^(-3/2)-(1/4)(1-x)^(-3/2)]/2
=(-1/2)/2
=-1/4
方法二：泰勒展开
利用泰勒展开式f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)²+···+ [f(x0)^(n)/n!]*(x-x0)^n+Rn(x)
√(1+x)=1+(1/2)x-(1/8)x²+o(x²)
√(1-x)=1-(1/2)x-(1/8)x²+o(x²)
∴√(1+x)+√(1+x)-2=1+(1/2)x-(1/8)x²+o(x²)+1-(1/2)x-(1/8)x²+o(x²)-2=(-1/4)x²+o(x²)
∴lim(x→0) [√(1+x)+√(1-x)-2]/x²
=lim(x→0) [(-1/4)x²+o(x²)]/x²
=-1/4
方法三：
lim(x→0) [√(1+x)+√(1-x)-2]/x²
= lim(x→0) [(√(1+x)-1)-(1-√(1-x))]/x²
= lim(x→0) [x/(√(1+x)+1)-x/(1+√(1-x))]/x²
= lim(x→0) [1/(√(1+x)+1)-1/(1+√(1-x))]/x
= lim(x→0) [ (√(1-x)-√(1+x)) / [(√(1+x)+1)(1+√(1-x))] ]/x
= lim(x→0) [ ((1-x)-(1+x)) / (√(1-x)+√(1+x)) / [(√(1+x)+1)(1+√(1-x))] ]/x
= lim(x→0) [ -2 / (√(1-x)+√(1+x)) / [(√(1+x)+1)(1+√(1-x))] ]
= -2 / (1+1) / [(1+1)(1+1)] ]
=-1/4