题目

已知抛物线C:y=ax^2,直线l:y=3(x+1).若抛物线上存在关于直线l对称的两点,求实数a的取值范围

提问时间：2020-11-02

答案

设在抛物线上关于l对称的点为M,N
那么M(Xm,aXm^2),N(Xn,aXn^2),Xm≠Xn
MN的斜率为：(aXm^2-aXn^2)/(Xm-Xn)=a(Xm+Xn)(Xm-Xn)/(Xm-Xn)=a(Xm+Xn)
因为MN垂直L,所以a(Xm+Xn)=-1/3
所以Xn=-1/(3a)-Xm
所以N(-1/(3a)-Xm,1/(9a)+2Xm/3+aXm^2)
所以MN中点：(-1/(6a),1/(18a)+Xm/3+aXm^2)
MN的中点在L上
所以1/(18a)+Xm/3+aXm^2=3*[-1/(6a)+1]
整理得：9a^2Xm^2+3aXm+5-27a=0
Xm有解,所以△＝9a^2-36a^2(5-27a)≥0
所以 1-4*(5-27a)≥0
a≥19/108
当a=19/108时,Xm=-18/19,Xn=-18/19,舍去
所以a的取值范围为：a>19/108
对称轴不同,怎么可能a的取值范围是相同的呢?