题目

求递归数列a(n)=(n-1)a(n-1)+1 ,n>1;a1=1的通项公式?

提问时间：2020-11-01

答案

式1：a(n) = (n-1) * a(n-1) + 1
式2：a(n-1) = (n-2) * a(n-2) + 1,两边同时乘以(n-1)得
(n-1) * a(n-1) = (n-1)(n-2) * a(n-2) + (n-1),同样可以得到
式3：(n-1)(n-2) * a(n-3) = (n-1)(n-2)(n-3) * a(n-3) + (n-1)(n-2)
…………
式n (n-1)(n-2)...2 * a(2) = (n-1)(n-2)...1 * a(1) + (n-1)(n-2)...2
把上面的n个式子累加,并约掉式子两边相同的项,可以得到：
a(n) = (n-1)! * a(1) + 1 + (n-1) + (n-1)(n-2) + .+(n-1)(n-2)...2
代入a(1)=1,同时每一项的分子分母同时乘以适当的因子
= (n-1)!/0! + (n-1)!/(n-1)! + (n-1)!/(n-2)! + (n-1)!/(n-3)! + ... +(n-1)!/1!
提取公共因子
= (n-1)! * 求和( 1/i! ) ,其中i=从0到n-1