题目

一个房间有多张桌子1若3个人一桌多2人,5个人一桌多4人,7个人一桌多6个人,9个人一桌多8人,11人一桌正好 问有多少人?
设至少有x个人.
由已知可得,x是11的倍数,且x+1是3、5、7、9的倍数.
由x+1是3、5、7、9的倍数可知,x+1能被3、5、7、9的最小公倍数整除.3、5、7、9的最小公倍数为5*7*9=315
315除以11余7
630（315*2）除以11余3
由此可知,315*n/11的余数与7n/11同余.（n为自然数.）
由x是11的倍数可知,x+1/11余1.因此7n/11应该余1.解得n=8.
此时x+1=315*8.
解得x=2519.
验算：2519/3=837余2,2519/5=503余4,2519/7=359余6,2519/9=279余8,2519/11=229.满足条件.
请问315*n/11与7n/11的余数为什么相等?

提问时间：2020-11-01

答案

315*n/11=(308+7)*n/11=308*n/11+7*n/11
因为308/11无余数,所以308*n/11无余数,
因此,315*n/11的余数与7*n/11的余数相同
换句话说
（a*b+c）*n/a=a*b*n/a+c*n/a
式子的前一半可以整除,无余数,因此余数都来自于式子的后一半,
因此整个式子的余数等于式子后一半的余数,
（a*b+c）*n/a与c*n/a的余数相同
不知楼主理解了没