题目

x->0时,lim（x/sinx)=1吗?怎样证?
如题,当x趋近于0时,x/sinx的极限等于1吗?怎样证?

提问时间：2020-11-01

答案

首先,做一个单位圆,取起始边为x正半轴,在第一象限的角,角的大小为x,这个角为AOB,
A,B都是圆上的点,B在x正半轴上,
那么我们容易知道,
三角形AOB的面积就是S1=1/2AO*BO*sin(角AOB)=1/2*1*1*sinx=sinx/2
在第一象限的扇形AOB的面积S2=1/2*r^2*x=x/2
显然,扇形面积比三角形面积大了弧AB和弦AB围成的图形的面积,
所以说S1≤S2也就是说sinx/2≤x/2,也就是说sinx≤x
过B作圆的切线,和OA延长线交于C,
同理我们可以知道三角形COB的面积不小于扇形AOB的面积,
S3=1/2*OB*OC=1/2*1*tanx=1/2tanx
S2≤S3,也就是说x/2≤tanx/2,也就是说x≤tanx
然后我可以得出
1=lim(sinx/sinx)≤lim（x/sinx)≤lim（tanx/sinx)=lim(1/cosx)=lim（1/1)=1
即1≤lim（x/sinx)≤1
所以可以知道lim（x/sinx)=1