题目

有什么函数是不可积的?函数不可积说明了什么?

提问时间：2020-11-01

答案

正态分布函数的密度函数是不可积的,虽然它的原函数(即不定积分)存在,但不能用初等函数表达出来.
习惯上,如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来,就说这函数是“积得出的函数”,否则就说它是“积不出”的函数.比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数,但是这些积分在概率论,数论,光学,傅里叶分析等领域起着重要作用.
（1）∫e^(-x²)dx；（2）∫(sinx)/xdx；
（3）∫1/(lnx)dx；（3）∫sinx²dx；
（5）∫根号(a²sin²x+b²cos²x)dx(a²≠b²)
标准正态分布函数：Φ(x)=[1/根号(2π)]∫(-∞,x)e^(-x²/2)dx
这个函数是不可积的,但是它的原函数是存在的,只是不能用初等函数表示而已.习惯上,如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来,就说这函数是“积得出的函数”,否则就说它是“积不出”的函数.比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数 ∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx ∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等于b*b) -------------------------------------- 以下是从别人那粘贴过来的..原函数我也不知道,___________________________________ 下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞,下限为0） 因为sint/t不存在初等函数的原函数,所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分.I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞,下限为0） 显然：I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0） I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞,下限为0） =∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞,下限为0） =e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞,下限为0） =-1/(1+x^2) 从而有 I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1) |I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt| ≤∫|e^(-xt)sint/t|dt ≤∫e^(-xt)dt =-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数,上限为∞,下限为0） =1/x －－>0 (x－－>+∞) 即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞) 对（1）式两端取极限：lim(I(x))(x－－>+∞) =-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)
=-π/2+C 即有0=-π/2+C,可得C=π/2 于是（1）式为 I(x）=-arctan(x)+π/2 limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0) I(0)=π/2 所以有 I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0）=π/2 因为sinx/x是偶函数,所以 ∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为-∞） =π .