题目

设n阶矩阵A的伴随矩阵A^*≠0，若ξ₁，ξ₂，ξ₃，ξ₄是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系（　　）
A. 不存在
B. 仅含一个非零解向量
C. 含有两个线性无关的解向量
D. 含有三个线性无关的解向量

提问时间：2020-10-31

答案

∵A是n阶的矩阵，
∴AX=0和AX=b，含有n个未知数，
于是，AX=0基础解系含向量的个数为：n-r（A），
又：r（A^*）=

n ，r(A)＝n 1 ，r(A)＝n−1 0 ，0≤r(A)≤n−2

，
已知：A^*≠0，
于是r（A）等于n或n-1，
又Ax=b有互不相等的解，即解不惟一，
故：r（A）=n-1，
从而AX=0基础解系所含解向量的个数为：n-r（A）=1，
即选：B．

要确定基础解系含向量的个数，实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩，因为基础解系含向量的个数=未知数的个数-系数矩阵的秩．

本题考点：矩阵的秩的性质；伴随矩阵的性质；基础解系、通解及解空间的概念．

考点点评：本题是对矩阵A与其伴随矩阵A^*的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查，对这些基础知识点要熟练掌握．