题目

证明三角形三条高交于一点
三种方法

提问时间：2020-10-31

答案

1、做出其中的两条高,它们交与一点,将这一点与另一顶点相连,设连线为A,并做这一点对于上述顶点所对着的边的垂线B,只要证明A与B在一条直线上就可以了
2、以三角形的一边为X边,其中垂线为Y轴,这样就可以通过三个顶点确定上个边的方程和中点,中垂线也就可以表示出来了.解三个中垂线方程就可以得到一个解了,即垂心.
3、设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c.
因为AD⊥BC,BE⊥AC,
所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0,
即向量a·(向量c-向量b)=0,
向量b·(向量a-向量c)=0,
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0
向量b·向量a-向量b·向量c=0
两式相加得
向量c·(向量a-向量b)=0
即向量HC·向量BA=0
故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H.证毕.