题目

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．

（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；
（2）求证：∠MPB=90°-

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提问时间：2020-10-31

答案

证明：（1）连接MD，
∵点E是DC的中点，ME⊥DC，
∴MD=MC，
又∵AD=CF，MF=MA，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠MAD=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠MAB=30°，
在Rt△AMB中，∠MAB=30°，
∴BM=

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AM，
即AM=2BM；
（2）连接MD，
∵点E是DC的中点，ME⊥DC，
∴MD=MC，
又∵AD=CF，MF=MA，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠ADM=∠FCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠CMD
∴∠CMD=∠FCM，
∵MD=MC，ME⊥DC，
∴∠DME=∠CME=

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∠CMD，
∴∠CME=

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∠FCM，
在Rt△MBP中，∠MPB=90°-∠CME=90°-

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∠FCM．