题目

若命题任意x属于【-1,正无穷】,x的平方—2ax+2≥0恒成立是真命题,求实数a的取值范围

提问时间：2020-10-31

答案

符号^代表幂.【-1,正无穷】你这个是左闭还是左开?我默认成闭了,不过这不影响结果
用分离变量法：
2ax≤x^2+2在x∈[-1,∞)上恒成立
当x=0时,得0≤2,为恒成立不等式
所以x=0不影响a的取值
当x∈[-1,0)时：（把2x除过去,不等号变向）
a≥(x^2+2)/2x在x∈[-1,0)恒成立
所以a大于等于“(x^2+2)/2x在x∈[-1,0)上的最大值”
设(x^2+2)/2x=g(x)
则g(x)=(x+ 2/x)/2,定义域x∈[-1,0)
由对勾函数图像的性质得：当x∈[-1,0)时,x+ 2/x∈(-∞,-2√2]
所以g(x)max=-√2
所以a≥-√2
当x∈(0,+∞)时：
a≤(x^2+2)/2x在x∈(0,+∞)恒成立
所以a小于等于“(x^2+2)/2x在x∈(0,+∞)上的最小值”
设(x^2+2)/2x=h(x)
则h(x)=(x+ 2/x)/2,定义域x∈(0,+∞)
由对勾函数图像的性质得：当x∈(0,+∞)时,x+ 2/x∈[2√2,∞)
所以h(x)min=√2
所以a≤√2
综上所述a∈[-√2,√2]