题目

已知k∈R，求直线y=k（x-1）+2被圆x²+y²-2x-2y=0截得的弦长的最小值．

提问时间：2020-10-31

答案

（本小题满分15分）
直线y=k（x-1）+2过定点M（1，2），（4分）
圆的方程可化为（x-1）²+（y-1）²=2，
则其圆心为C（1，1），半径为r=

2

，（8分）
设直线y=k（x-1）+2与圆（x-1）²+（y-1）²=2交于点A，B，
则当CM⊥AB时，弦长|AB|取得最小值，（12分）
这时|CM|=

(1-1)2+(1-2)2

=1，则|AM|=

r2-12

=1，
所以|AB|=2|AM|=2．              （15分）

求出直线y=k（x-1）+2过定点M，化简圆的方程，求出圆心为C，与半径，设直线y=k（x-1）+2与圆（x-1）²+（y-1）²=2交于点A，B，利用圆心距，半径半弦长的关系，即可求出结果．

本题考点：直线与圆的位置关系

考点点评：本题考查直线系方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．