题目

证明:实数域上一切有逆得n*n矩阵对于矩阵乘法来说,作成一个群

提问时间：2020-10-31

答案

我们令所有可逆n*n矩阵组成的集合为M,我们知道,M是非空的且矩阵乘法是一个二元运算.若M在矩阵乘法下成一个群,则因满足群的四个性质,现一一证明.
（1）单位矩阵I是可逆的,是M中元素,且对于任意矩阵A∈M,有IA=AI=A,即单位元素存在.
（2）对于任意一个矩阵A∈M,存在逆矩阵A^(-1),使得A*A^(-1)=I,即逆元素存在.
（3）矩阵乘法满足结合律,即对任意的矩阵A,B,C∈M,满足（A*B）*C=A*(B*C)
（4）对于任意的矩阵A,B∈M,有(A*B)*（B^(-1)*A^(-1)）=A*(B*B^(-1))*A^(-1)=A*I*A^(-1)=I,即A*B是可逆的,所以有A*B∈M,即矩阵乘法元算是乘法封闭的.
总上,M在矩阵乘法下是一个群.