题目
f（x）=x3+3ax2+3x+1,若x∈[2,+∞﹚时,f（x）≥0,求a的取值范围
提问时间：2020-10-31
答案
x∈[2,∞),f(x)≥0,即x³+3ax²+3x+1>=0,即x+3/x+1/x²>=-3a
即x∈[2,∞)时,-3a=0在x∈[2,∞)恒成立,也即x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立.
令h(x)=x³-3x-2;
h'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1),易知h'(x)>0在x∈[2,∞)恒成立,所以g(x)在x∈[2,∞)为增函数,所以h(x)>=h(2)=0,也就是x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立,
也即g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立,g(x)在x∈[2,∞)为增函数,
所以g(x)的最小值为g(2)=15/4,
所以-3a=-5/4
即x∈[2,∞)时,-3a=0在x∈[2,∞)恒成立,也即x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立.
令h(x)=x³-3x-2;
h'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1),易知h'(x)>0在x∈[2,∞)恒成立,所以g(x)在x∈[2,∞)为增函数,所以h(x)>=h(2)=0,也就是x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立,
也即g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立,g(x)在x∈[2,∞)为增函数,
所以g(x)的最小值为g(2)=15/4,
所以-3a=-5/4
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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