题目

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，点D是AB的中点．

（1）求证：BC₁∥平面CA₁D；
（2）求证：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B；
（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB₁=

3

，求三棱锥B₁-A₁DC的体积．

提问时间：2020-10-31

答案

证明：（1）连接AC₁交A₁C于点E，连接DE

∵四边形AA₁C₁C是矩形，则E为AC₁的中点
又∵D是AB的中点，DE∥BC₁，
又DE⊂面CA₁D，BC₁⊄面CA₁D，
∴BC₁∥平面CA₁D；
（2）AC=BC，D是AB的中点，
∴AB⊥CD，
又∵AA₁⊥面ABC，CD⊂面ABC，
∴AA₁⊥CD，
∵AA₁∩AB=A，
∴CD⊥面AA₁B₁B，
又∵CD⊂面CA₁D，
∴平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B
（3）则由（2）知CD⊥面ABB₁B，
∴三棱锥B₁-A₁DC底面B₁A₁D上的高就是CD=

3

，
又∵BD=1，BB₁=

3

，
∴A₁D=B₁D=A₁B₁=2，SA1B1D=

3

，
∴三棱锥B₁-A₁DC的体积VB1−A1DC=VC−A1B1D=

1

3

•

3

•

3

=1

（1）连接AC₁交A₁C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC₁，进而由线面平行的判定定理得到结论；
（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA₁B₁B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可
（3）三棱锥B₁-A₁DC的体积VB1−A1DC=VC−A1B1D，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

考点点评：本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性