题目

设H、K都是群G的子群,设|H|=m,|K|=n且（m,n）=1,证明：H∩K={e}.如题

提问时间：2020-10-31

答案

证明：显见{e}包含于H∩K,H∩K≠Φ.任意的a,b∈H∩K,则a,b∈H且a,b∈K,又H、K为G的子群,故a(b^-1)∈H且a(b^-1)∈K.即 a(b^-1)∈H∩K,故H∩K≤H,H∩K≤K.从而由拉格朗日定理知 |H∩K| 整除m且 |H∩K|整除n 因此|H∩K|整除（m,n）,又（m,n）=1,故必有 |H∩K|=1,所以 H∩K={e}