题目

在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC．
（1）求角A的值；
（2）求

3

sinB−cosC的最大值．

提问时间：2020-10-31

答案

（1）∵（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC，
∴（sinB+sinC）²-sin²A=3sinBsinC，
∴sin²B+sin²C-sin²A-sinBsinC=0，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：b²+c²-a²-bc=0，
又由余弦定理知，a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=

1

2

，角A=60°．
（2）∵角A=60°，在△ABC中，A+B+C=180°，
∴B=120°-C，
∴

3

sinB-cosC
=

3

sin（120°-C）-cosC
=

3

（

3

2

cosC-（-

1

2

）sinC）-cosC
=

1

2

cosC+

3

2

sinC
=sin（C+

π

6

），
∵C∈（0°，120°），
∴[sin(C+

π

6

)]max=1，即

3

sinB-cosC得最大值为1．

（1）利用正弦定理将（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC转化为边之间的关系，再由余弦定理即可求得求角A的值；
（2）利用（1）中角A=60°，可求得B=120°-C，利用三角函数中的恒等变换可将

3

sinB-cosC转化为关于角C的关系式，从而可求得其最大值．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦定理，突出三角函数中的恒等变换及诱导公式的应用，属于中档题．